20．（本小题满分14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。

21．（本小题满分14分） 设函数，其中，

（1）求函数的定义域D（用区间表示）；

（2）讨论函数在D上的单调性；

（3）若，求D上满足条件的的集合（用区间表示）。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）参考答案  成本文 6/8/2014

１－８：CDBA BADD;

８.解：A中元素为有序数组，题中要求有序数组的5个数中仅1个数为、仅2个数为或仅3个数为，所以共有个不同数组；

9.;  10.;  11.;  12.2;  13.50;  14.(1,1);  15.9;

11.解：6之前6个数中取3个，6之后3个数中取3个，；

16.解：（1），

，；

（2），

，

，，又，

，

．

17. 解：（1），；

（2）样本频率分布直方图为

（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率0.2，

设所取的4人中，日加工零件数落在区间（30,35］的人数为，则，

，

所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率约为0.5904．

18.（１）平面，

，又，，

平面，

，又，

平面，即；

（２）设，则中，，又，

，，由（１）知

，，

，又，

，，同理，

如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则，

，，，，

设是平面的法向量，则，又，

所以，令，得，，

由（１）知平面的一个法向量，

设二面角的平面角为，可知为锐角，

，即所求．

19.解：，，又，

，，又，

，，

综上知，，；

（２）由（１）猜想，学科网下面用数学归纳法证明．

①当时，结论显然成立；

②假设当（）时，，

则，又，

，解得，

，即当时，结论成立；

由①②知，．

20.解：（１）可知，又，，，

椭圆C的标准方程为；

（２）设两切线为，

①当轴或轴时，对应轴或轴，可知

②当与轴不垂直且不平行时，，设的斜率为，则，的斜率为，

的方程为，联立，

得，

因为直线与椭圆相切，学科网所以，得，

，

所以是方程的一个根，

同理是方程的另一个根，

，得，其中，

所以点P的轨迹方程为（），

因为满足上式，综上知：点P的轨迹方程为．

21.解：（１）可知，

，

或，

或，

或，

或或，

所以函数的定义域D为

；

（２），

由得，即，

或，结合定义域知或，

所以函数的学科网单调递增区间为，，

同理递减区间为，；

（３）由得，

，

，

，

或或或，

，，，

，，

结合函数的单调性知的解集为

．