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绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后,将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:
1.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。答案卸载试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
参考公式:
如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).
第Ⅰ卷(共50分)
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的
(1) 已知集合A={X|X²-4X+3<0},B={X|2<X<4},则AB=
(A)(1,3) (B)(1,4) (C)(2,3) (D)(2,4)
(2)若复数Z满足,其中i为虚数为单位,则Z=
(A)1-i (B)1+i (C)-1-i (D)-1+i
(3)要得到函数y=sin(4x-)的图像,只需要将函数y=sin4x的图像()
(A)向左平移个单位 (B)向右平移个单位
(C)向左平移个单位 (D)向右平移个单位
(4)已知ABCD 的边长为a,∠ABC=60o ,则 .=
(A)- (B)- (C) (D)
(5)不等式|X-1|-|X-5|<2的解集是
(A)(-,4) (B)(-,1)
(C)(1,4) (D)(1,5)
(6)已知x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则a=
(A)3 (B)2 (C)-2 (D)-3
(7)在梯形ABCD中,∠ABC=,AD//BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
(A) (B) (C) (D)2
(8)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,3),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为
(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ²)),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,
P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)
(A)4.56% (B)13.59% (C)27.18% (D)31.74%
(9)一条光纤从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆相切,则反射光线所在直线的斜率为()
(A)或 (B或
(C)或 (D)或
(10)设函数f(x)=,则满足f(f(a))=的a取值范围是()
(A)[,1] (B)[0,1]
(C)[ (D)[1,+
第Ⅱ卷(共100分)
二、 填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。
(11)观察下列各式:
C10=40
……
照此规律,当nN时,
C02n-1 + C12n-1 + C22n-1 +…+ Cn-12n-1 = .
(12)若“x[0,],tanxm”是真命题,则实数m的最小值为 .
(13)执行右边的程序框图,输出的T的值为 .
(14)已知函数 的定义域和值域都是 ,则
(15)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:(a>0,b>0)的渐近线与抛物线
C2:X2=2py(p>0)交于O,若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为 ___
三、解答题:本答题共6小题,共75分。
(16)(本小题满分12分)
设f(x)=2(x+).
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)在锐角△ABC中,角A,B,C,的对边分别为a,b,c,若f()=0,a=1,求△ABC面积的最大值。
(17)(本小题满分12分)
如图,在三棱台DEF-ABC中,
AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点。
(Ⅰ)求证:BC//平面FGH;
(Ⅱ)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE, ∠BAC= ,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.
(18)(本小题满分12分)
设数列的前n项和为.已知2=+3.
(I)求的通项公式;
(II)若数列满足,求的前n项和.
(19)(本小题满分12分)
若是一个三位正整数,且的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称为“三位递增数”(如137,359,567等).
在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得分;若能被10整除,得1分.
(I)写出所有个位数字是5的“三位递增数” ;
(II)若甲参加活动,求甲得分的分布列和数学期望.
(20)(本小题满分13分)
平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率为,左、右焦点分别是.以为圆心以3为半径的圆与以为圆心1为半径的圆相交,且交点在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆为椭圆上任意一点,过点的直线 交椭圆 于两点,射线 交椭圆 于点 .
( i )求的值;
(ii)求△面积的最大值.
(21)(本小题满分14分)
设函数,其中。
(Ⅰ)讨论函数极值点的个数,并说明理由;
(Ⅱ)若>0,成立,求的取值范围。
1C 2A 3B 4D 5A 6B 7C 8B 9D 10C
11. 12. 1 13. 14.— 15.
16. 解:(Ⅰ)由
由得,
则的递增区间为;
由得,
则的递增区间为.
(Ⅱ)在锐角中,,,而
由余弦定理可得,当且仅当时等号成立,即,,
故面积的最大值为.
17. 解:(Ⅰ)证明:连接DG,DC,设DC与GF交于点T.
在三棱台中,则
而G是AC的中点,DF//AC,则,
所以四边形是平行四边形,T是DC的中点,DG//FC.
又在,H是BC的中点,则TH//DB,
又平面,平面,故平面;
(Ⅱ)由平面,可得平面而
则,于是两两垂直,
以点G为坐标原点,所在的直线
分别为轴建立空间直角坐标系,
设,则,
,
则平面的一个法向量为,
设平面的法向量为,则,即,
取,则,,
,故平面与平面所成角(锐角)的大小为.
18. 解:(Ⅰ)由可得,
而,则
(Ⅱ)由及可得
.
19. 解:(Ⅰ)125,135,145,235,245,345;
(Ⅱ)X的所有取值为-1,0,1.
甲得分X的分布列为:
解析:(Ⅰ)由椭圆的离心率为可知,而则,左、右焦点分别是,
圆:圆:由两圆相交可得,即,交点,在椭圆C上,则,
整理得,解得(舍去)
故椭圆C的方程为.
(Ⅱ)(ⅰ)椭圆E的方程为,
设点,满足,射线,
代入可得点,于是.
(ⅱ)点到直线距离等于原点O到直线距离的3倍:
,得,整理得
,当且仅当等号成立.
而直线与椭圆C:有交点P,则
有解,即有解,
其判别式,即,则上述不成立,等号不成立,
设,则在为增函数,
于是当时,故面积最大值为12.
解:(Ⅰ),定义域为
,
设,
当时,,函数在为增函数,无极值点.
当时,,
若时,,函数在为增函数,无极值点.
若时,设的两个不相等的实数根,且,
且,而,则,
所以当单调递增;
当单调递减;
当单调递增.
因此此时函数有两个极值点;
当时,但,,
所以当单调递増;
当单调递减.
所以函数只有一个极值点。
综上可知当时的无极值点;当时有一个极值点;当时,的有两个极值点.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知当时在单调递增,而,
则当时,,符合题意;
当时,,在