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2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

理科数学

        本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

        1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

        2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案卸载试卷上无效。

        3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

        4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

参考公式：

        如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).

第Ⅰ卷（共50分）

一、          选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的

（1）   已知集合A={X|X²-4X+3<0}，B={X|2<X<4},则AB=

（A）（1，3） （B）（1，4） （C）（2，3） （D）（2，4）

（2）若复数Z满足，其中i为虚数为单位，则Z=

        （A）1-i     （B）1+i    （C）-1-i   （D）-1+i

（3）要得到函数y=sin（4x-）的图像，只需要将函数y=sin4x的图像（）

（A）向左平移个单位  （B）向右平移个单位

（C）向左平移个单位   （D）向右平移个单位

（4）已知ABCD 的边长为a，∠ABC=60^o ,则 .＝

（A）-   （B）-   （C）   （D）

（5）不等式|X-1|-|X-5|<2的解集是

（A）（-，4）    （B）（-，1）

（C）（1，4）         （D）（1，5）

（6）已知x,y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=

（A）3   （B）2   （C）-2   （D）-3

（7）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD//BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为

（A）   （B）  （C）   （D）2

（8）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，3），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为

（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²）），则P（μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%，

P（μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44%.）

（A）4.56%  （B）13.59%    （C）27.18%     （D）31.74%

（9）一条光纤从点（-2，-3）射出，经y轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）

（A）或    （B或

（C）或    （D）或

（10）设函数f(x)=,则满足f(f(a))=的a取值范围是（）

（A）[，1]                 （B）[0，1]

（C）[          （D）[1，+

第Ⅱ卷（共100分）

二、      填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）观察下列各式：

C₁⁰=4⁰ 

……

照此规律，当nN时，

C⁰_2n-1 + C¹_2n-1  + C²_2n-1 +…+ C^n-1_2n-1  =      .

(12)若“x[0,]，tanxm”是真命题，则实数m的最小值为         .

（13）执行右边的程序框图，输出的T的值为            . 

(14)已知函数 的定义域和值域都是 ，则    

（15）平面直角坐标系xOy中，双曲线C₁：（a>0,b>0）的渐近线与抛物线

C_2：X²=2py(p>0)交于O，若△OAB的垂心为C₂的焦点，则C₁的离心率为  ＿＿＿

三、解答题：本答题共6小题，共75分。

（16）（本小题满分12分）

设f（x）=²（x+）.

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A,B,C,的对边分别为a,b,c,若f（）=0,a=1,求△ABC面积的最大值。

(17)(本小题满分12分)

如图，在三棱台DEF-ABC中，

AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点。

（Ⅰ）求证：BC//平面FGH；

（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE, ∠BAC= ,求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小.

（18）（本小题满分12分）

      设数列的前n项和为.已知2=+3.

      （I）求的通项公式；

      （II）若数列满足，求的前n项和.

（19）（本小题满分12分）

        若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137，359，567等）.

        在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分.

（I）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；

（II）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望.

（20）（本小题满分13分）

平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别是.以为圆心以3为半径的圆与以为圆心1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆为椭圆上任意一点，过点的直线          交椭圆 于两点，射线 交椭圆 于点 .

( i )求的值；

（ii）求△面积的最大值.

(21)(本小题满分14分)

    设函数，其中。

    （Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；

    （Ⅱ）若>0，成立，求的取值范围。

1C 2A  3B 4D 5A 6B 7C 8B 9D 10C

11.  12. 1    13.  14.—   15.

16. 解：（Ⅰ）由

由得，

则的递增区间为；

由得，

则的递增区间为.

（Ⅱ）在锐角中，,,而

由余弦定理可得，当且仅当时等号成立，即，，

故面积的最大值为.

17. 解：（Ⅰ）证明：连接DG，DC，设DC与GF交于点T.

在三棱台中，则

而G是AC的中点，DF//AC，则,

所以四边形是平行四边形,T是DC的中点，DG//FC.

又在,H是BC的中点，则TH//DB，

又平面，平面，故平面；

（Ⅱ）由平面,可得平面而

则,于是两两垂直，

以点G为坐标原点，所在的直线

分别为轴建立空间直角坐标系，

设,则,

，

则平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，则,即，

取，则，，

，故平面与平面所成角（锐角）的大小为.

18. 解：（Ⅰ）由可得，

而，则

（Ⅱ）由及可得

  .

19. 解：（Ⅰ）125,135,145,235,245,345；

（Ⅱ）X的所有取值为-1,0,1.

甲得分X的分布列为：

解析：（Ⅰ）由椭圆的离心率为可知，而则，左、右焦点分别是,

圆：圆：由两圆相交可得，即，交点，在椭圆C上，则，

整理得，解得（舍去）

故椭圆C的方程为.

（Ⅱ）（ⅰ）椭圆E的方程为，

设点，满足，射线，

代入可得点，于是.

（ⅱ）点到直线距离等于原点O到直线距离的3倍：

，得，整理得

，当且仅当等号成立.

而直线与椭圆C：有交点P，则

有解，即有解，

其判别式，即，则上述不成立，等号不成立，

设，则在为增函数，

于是当时，故面积最大值为12.

解：（Ⅰ），定义域为

，

设，

当时，，函数在为增函数，无极值点.

当时，，

若时，，函数在为增函数，无极值点.

若时，设的两个不相等的实数根，且，

且，而，则，

所以当单调递增；

当单调递减；

当单调递增.

因此此时函数有两个极值点；

当时，但，，

所以当单调递増；

当单调递减.

所以函数只有一个极值点。

      综上可知当时的无极值点；当时有一个极值点；当时，的有两个极值点.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时在单调递增，而，

则当时，，符合题意；

当时，，在