1、计算题  在xoy平面直角坐标系的第Ⅰ象限有射线OA，OA与x轴正方向夹角为30°，如图所示，OA与y轴所夹区域存在y轴负方向的匀强电场，其它区域存在垂直坐标平面向外的匀强磁场；有一带正电粒子质量m，电量q，从y轴上的P点沿着x轴正方向以大小为v0的初速度射入电场，运动一段时间沿垂直于OA方向经过Q点进入磁场，经磁场偏转，过y轴正半轴上的M点再次垂直进入匀强电场。已知OP = h，不计粒子的重力。

⑴ 求粒子垂直射线OA经过Q点的速度vQ；
⑵ 求匀强电场的电场强度E与匀强磁场的磁感应强度B的比值；
⑶ 粒子从M点垂直进入电场后，如果适当改变电场强度，可以使粒子再次垂直OA进入磁场，再适当改变磁场的强弱，可以使粒子再次从y轴正方向上某点垂直进入电场；如此不断改变电场和磁场，会使粒子每次都能从y轴正方向上某点垂直进入电场，再垂直OA方向进入磁场……，求粒子从P点开始经多长时间能够运动到O点？

参考答案：（1）?（2）?（3）

本题解析：⑴设垂直OA到达Q点的速度为，将速度分解为水平方向的和竖直方向的，如图所示，则
，（1分）
（1分）
⑵做出粒子在磁场中的运动轨迹如图，根据几何知识可得出原点O即为轨迹圆的圆心，OQ为轨迹圆的半径，设为R。

在电场中的运动，由类平抛的知识可得：
，，
可求得（1分）
在磁场中的运动，由圆周运动的知识可得：
，。?（1分）
所以?（1分）
⑶设粒子第一次在磁场中做圆周运动的半径为R1，在电场中运动的时间为t11，在磁场中运动的时间为t12，在电场、磁场中运动的总时间为t1，则有
，，?（1分）
又由解得，?（1分）
从而有??（1分）
由题意知，改变电场、磁场的强弱后，粒子重复前面的运动情况，又设粒子第二次在磁场中做圆周运动的半径为R2，在电场中运动的时间为t21，在磁场中运动的时间为t22，在电场、磁场中运动的总时间为t2，类似上面的求解，有
，，
又由解得，，将此结果代入上式可得
?（1分）
…………
类推可知，粒子第n次在电场、磁场中运动的总时间??（1分）
所以粒子最终运动到O点的时间为
?（1分）

本题难度：一般

2、计算题  （10分）如图，在平面直角坐标系xOy内，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限以ON为直径的半圆形区域内，存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，从y轴正半轴上y = h处的M点，以速度v0垂直于y轴射入电场，经x轴上x = 2h处的P点进入磁场，最后以垂直于y轴的方向射出磁场。不计粒子重力。求

（1）电场强度大小E；
（2）粒子在磁场中运动的轨道半径r；
（3）粒子从进入电场到离开磁场经历的总时间t。

参考答案：（1）（2）（3）

本题解析：粒子的运动轨迹如右图所示

（1）设粒子在电场中运动的时间为t1
在x方向，有??
在y方向，有??
根据牛顿第二定律?
解得??
（2）根据动能定理??
设粒子进入磁场时速度为v，根据牛顿第二定律和洛仑兹力公式，有
?
解得??
（3）粒子在电场中运动的时间??
粒子在磁场中运动的周期??
设粒子在磁场中运动的时间为t2??
解得?
本题考查带电粒子在复合场中的运动，粒子在电场中做类平抛运动，根据水平方向匀速和竖直方向匀加速的特点列式求解，进入磁场后由洛伦兹力提供向心力，求出半径公式，在磁场中的运动时间需要求圆心角和周期

本题难度：一般

3、计算题  如图所示，真空中有一以(r，0)为圆心、半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B方向垂直纸面向里，在y≥r的范围内，有方向向左的匀强电场，电场强度大小E。从O点向不同方向发射速率相同的质子，质子的运动轨迹均在纸面内，已知质子的电量为e，质量为m，质子在磁场中的偏转半径也为r，不计重力及阻力作用。求：
(1)质子进入磁场时的速度大小；
(2)速度方向沿x轴正方向射入磁场的质子，到达y轴所需的时间；
(3)速度方向与x轴正方向成30°角（如图中所示）射入磁场的质子，到达y轴时的位置坐标。

参考答案：解：(1)质子射入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
由得
(2)质子沿x轴正方向射入磁场，经圆弧后以速度v垂直于电场方向进入电场，
所以质子在磁场中的运动时间为
质子进入电场后做类平抛运动，沿电场方向运动r后到达y轴，因此有
故所求时间为：
(3)质子在磁场中转过120°角后从P点垂直电场方向进入电场，如图所示，质子出P点后先做一小段距离的匀速直线运动，设质子在电场中运动到达y轴所需时间为t3，则由运动学知识可得

由几何知识可得x1=r+rsin30°
解得
在y轴方向质子做匀速直线运动，因此有
所以质子到达y轴的位置坐标为

本题解析：

本题难度：困难

4、计算题  如图所示，abcd构成一个边长为L的正方形区域，在ac连线的右下方存在场强大小为E、方向垂直于ad向上的匀强电场，在?abc区域内(含边界)存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在?abc区域外、ac连线的左上方存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，两磁场区域的磁感应强度大小相等.现有两个可视为质点、质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子同时从a点射出，粒子甲的初速度方向由a指向d，粒子乙的初速度方向由a指向c，当乙经b到达c点时，刚好与只在电场中运动的甲相遇.若空间为真空，不计粒子重力和粒子间的相互作用力，忽略粒子运动对电、磁场产生的影响。求：

（1）甲的速率v甲和甲从a到c经历的时间t。
（2）乙的速率v乙和磁感应强度大小B满足的条件。

参考答案：（1）??（2）?

本题解析：(1)甲在电场中做类平抛运动，由牛顿定律有 ay=qE/m? (1分)
由运动规律有? (1分)
?(1分)
联立三式解得? (1分)
? (1分)
(2)设乙在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为R，周期为T
由牛顿定律有? (1分)

根据运动的对称性，乙由a经b到达c点的运动轨迹如图所示，其中x是每段圆弧轨迹对应的弦线长，设n为由a至b对应的圆弧段数 ?(1分)
由几何关系有??(2分)
解法一:
当n为奇数时，所有弧长对应的圆心角总和为
? (1分)
由a经b到达c点的总时间为? (1分)
? (1分)??(1分)
当n为偶数时，所有弧长对应的圆心角总和为? (1分)
由a经b到达c点的总时间为? (1分)
? (1分)??(1分)
解法二:
当n为奇数时，所有弧长的总长为? (1分)
? (1分)
? (2分)
当n为偶数时，所有弧长的总长为? (1分)
? (1分)??(2分)

本题难度：一般

5、简答题  （17分）
如图所示，在x轴上方有水平向左的匀强电场，电场强度为E1；下方有竖直向上的匀强电场，电场强度为E2，且。在x轴下方的虚线（虚线与茗轴成45°角）右侧有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。有一长为L的轻绳一端固定在第一象限内的O′点，且可绕O′点在竖直平面内转动；另一端拴有一质量为m的小球，小球带电量为+q。OO′与x轴成45°角，其长度也为L。先将小球放在O′点正上方，从绳恰好绷直处由静止释放，小球刚进人有磁场的区域时将绳子断开。
试求：
（1）绳子第一次刚拉直还没有开始绷紧时小球的速度大小；
（2）小球刚进入有磁场的区域时的速度大小；
（3）小球从进入有磁场的区域到第一次打在x轴上经过的时间。

参考答案：（1）
（2）
（3）

本题解析：
（1）小球一开始受到的合力为，做匀加速直线运动。设绳子第一次刚拉直还没有开始绷紧时小球的速度大小为v。根据动能定理可得：
…………………………………………①（2分）
解得：………………………②（1分）
（2）设绳子刚绷紧后小球速度大小为v2，则进入有磁场的区域时速度的大小为v3则：

………………………③（2分）
根据动能定理可得：

……………………………………④（2分）
联立②③④式解得：
……………⑤（2分）
（3）带电小球垂直于磁场边界进入有磁场的区域，做匀速圆周运动，设轨道半径为r。由牛顿第二定律可得：
……………………………………………………………………⑥（3分）
带电小球运动半个圆周后，从磁场边界射出有磁场的区域，然后做匀速直线运动，设匀速直线运动的距离为d。则：?
由几何关系得：………………………………………………………⑦（2分）
设小球从进入有磁场的区域到第一次打在戈轴上经过的时间为t。则：
………………………………………………………………⑧（2分）
联立⑥⑦⑧式解得：
……………………………………（1分）

本题难度：一般