1、计算题  如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ；石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离，重力加速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为G。
（1）设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），PQ=x，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常；
（2）若在水平地面上半径为L的范围内发现：重力加速度反常值在δ与kδ（k>1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半径为L的范围的中心。如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。

参考答案：解：（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值。因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力? ①
来计算，式中m是Q点处某质点的质量，M是填充后球形区域的质量，M=ρV? ②
而r是球形空腔中心O至Q点的距离，? ③
△g在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小。Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向，重力加速度反常△g"是这一改变在竖直方向上的投影
? ④
联立①②③④式得? ⑤
（2）由⑤式得，重力加速度反常△g"的最大值和最小值分别为
? ⑥
? ⑦
由题设有? ⑧
联立⑥⑦⑧式得，地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为
? ⑨
? ⑩

本题解析：

本题难度：困难

2、选择题  两个物体之间的万有引力大小为F1，若两物体之间的距离减少x，两物体仍视为质点。此时两者之间的万有引力为F2，根据上述条件可以计算 ?(? )
A．两物体的质量
B．万有引力恒量
C．两物体之间的距离
D．条件不足，无法计算上三项

参考答案：C

本题解析：根据万有引力公式，设开始两物体间距为r，，当两物体之间的距离减少x，万有引力为，由两个公式联立可求出两物体之间的距离r，C对；

本题难度：简单

3、选择题  下列说法错误的是
A．开普勒在总结前人研究的基础上成功地抽象和概括出行星运动的规律
B．宇宙间任意两个有质量的物体间都存在万有引力
C．万有引力定律是牛顿提出的，但万有引力常数G则是卡文迪许通过实验测出的
D．万有引力的大小与两物体的质量乘积成正比，与它们间的距离成反比

参考答案：D

本题解析：根据万有引力公式可知，万有引力的大小与两物体的质量乘积成正比，与它们间的距离的平方成反比，D错；

本题难度：简单

4、计算题  已知地球半径为R,引力常量为G,地球表面的重力加速度为g。不考虑地球自转的影响。
⑴ 推导第一宇宙速度v的表达式 ；?
⑵若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h ，飞行n圈，所用时间为t.，求地球的平均密度

参考答案：⑴　　　⑵

本题解析：⑴设卫星的质量为m，地球的质量为M，由于不考虑地球自转的影响，当卫星在地球表面时受到的万有引力近似等于重力，即
在地球表面附近的运行卫星，其轨道半径近似等于地球半径，万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律得：
以上两式联立解得：第一宇宙速度v的表达式为
⑵设卫星圆轨道上运行周期为T，由题意得
卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得
，解得地球的质量为：
又地球体积?
所以地球的平均密度。

本题难度：一般

5、选择题  2013年12月2日1时30分，由月球车（如图甲）和着陆器组成的嫦娥三号月球探测器从西昌卫星发射中心升空，飞行约18min后，嫦娥三号进入如图乙所示的地月转移轨道AB，A为入口点，B为出口点。嫦娥三号在B点经过近月制动，进入距离月面100公里的环月圆轨道，然后择机在月球虹湾地区实现软着陆，展开月面巡视勘察。已知月球和地球的质量之比约为，图乙中环月圆轨道的半径与地球半径之比约为，地球的第一宇宙速度约为7.9km/s，下列说法正确的是 （?）

A．嫦娥三号进入地月转移轨道前，在近地圆轨道运行的速度大于7.9km/s
B．嫦娥三号在图乙中环月圆轨道上做匀速圆周运动的线速度约为1.8km/s
C．携带月球车的着陆器在月球上着陆过程中一定处于失重状态
D．同一单摆，放在月球上的单摆周期小于放在地球上的单摆周期

参考答案：B

本题解析：7.9km/s是最大环绕速度，故嫦娥三号在近地圆轨道运动的速度略小于7.9km/s，所以选项A错误；根据可知，所以近月轨道与近地轨道的环绕速度，故环月圆轨道做匀速圆周运动的线速度，所以选项B正确；着陆器在着陆过程中有减速过程，这个阶段有向上的加速度，处于超重状态，所以选项C错误；根据单摆周期公式，因月球上的重力加速度小于地球上重力加速度，所以单摆周期大于放在地球上的单摆周期，所以选项D错误；

本题难度：一般