2005年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）设，则  =            .

（2）曲线的斜渐近线方程为         .

（3）          .

（4）微分方程满足的解为              .

（5）当时，与是等价无穷小，则k=            .

（6）设均为3维列向量，记矩阵

    ，，

     如果，那么      .

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）设函数，则f(x)在内

(A)  处处可导.                (B)  恰有一个不可导点.

(C)  恰有两个不可导点.        (D)  至少有三个不可导点.           [     ]

（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有

(A)       F(x)是偶函数f(x)是奇函数.   

    （B） F(x)是奇函数f(x)是偶函数.

(C)  F(x)是周期函数f(x)是周期函数.

 (D)  F(x)是单调函数f(x)是单调函数.                              [    ]                                                     

（9）设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是   

(A)  .            (B)  . 

(C)  .          (D)  .                       [   ]

（10）设区域，f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则

(A)  .   (B) .   (C)  .    (D)  .          [   ]

（11）设函数, 其中函数具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有

 (A)  .  （B） .

(C)  .     (D)  .                    [    ]

（12）设函数则

(A)        x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.

（B）  x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.

(C)   x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.

(D)       x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.      [   ]

（13）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是

(A)  .     (B)  .  (C) .   (D) .          [   ]

（14）设A为n（）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, 分别为A,B的伴随矩阵，则   [      ]

(A)       交换的第1列与第2列得.     (B) 交换的第1行与第2行得.

(C)  交换的第1列与第2列得.   (D) 交换的第1行与第2行得.          三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且，求极限

（16）（本题满分11分）

如图，和分别是和的图象，过点(0,1)的曲线是一单调增函数的图象. 过上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线和. 记与所围图形的面积为；与所围图形的面积为如果总有，求曲线的方程

（17）（本题满分11分）

如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线与分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分

（18）（本题满分12分）

    用变量代换化简微分方程，并求其满足的特解.

（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：

（I）存在 使得；（II）存在两个不同的点，使得

（20）（本题满分10分）

已知函数z=f(x,y) 的全微分，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值.

（21）（本题满分9分）

计算二重积分，其中.

（22）（本题满分9分）

确定常数a,使向量组可由向量组线性表示，但向量组不能由向量组线性表示.

（23）（本题满分9分）

已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵（k为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.

2005年数学二试题分析、详解和评注

一、         填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）设，则  = .

（2）  曲线的斜渐近线方程为.

（3） 

（4）  微分方程满足的解为

（5）当时，与是等价无穷小，则k=  .

（6）设均为3维列向量，记矩阵

    ，，

     如果，那么   .

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）设函数，则f(x)在内

(A)  处处可导.                (B)  恰有一个不可导点.

(C)  恰有两个不可导点.        (D)  至少有三个不可导点.           [     ]

（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有

(A)    F(x)是偶函数f(x)是奇函数.   

    （B） F(x)是奇函数f(x)是偶函数.

(C)  F(x)是周期函数f(x)是周期函数.

 (D)  F(x)是单调函数f(x)是单调函数.                 &nb