其系数矩阵

.

.

显然，当时无公共解.

当时，可求得公共解为  ,为任意常数；

当时，可求得公共解为  .

【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.

（24） (本题满分11分)

设三阶对称矩阵的特征向量值，是的属于的一个特征向量，记，其中为3阶单位矩阵.

（I）验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值与特征向量；

（II）求矩阵. 

【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质.

【详解】（I），

          则是矩阵的属于－2的特征向量.

          同理可得

          ，.

          所以的全部特征值为2，1，1

          设的属于1的特征向量为，显然为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得

.

       即   ，解方程组可得的属于1的特征向量

            ，其中为不全为零的任意常数.

       由前可知的属于－2的特征向量为 ，其中不为零.

（II）令，由（Ⅰ）可得，则

              .

【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为的形式. 请记住以下结论：

（1）设是方阵的特征值，则分别有特征值

        可逆），且对应的特征向量是相同的.

   （2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的