所以      

           .

四、(本题满分6分.)

【解析】直接展开相对比较麻烦,可容易展开,

.

由,令得

即      

所以   

,

当时,式均收敛,而左端在处无定义.

因此    .

五、(本题满分7分.)

【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律,

        ,

所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得

,

再求导,得

,即      .

这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为,

此特征方程的根为,而右边的可看作,为特征根,因此非齐次方程有特解.

代入方程并比较系数,得,故,所以

,

又因为,所以,即.

六、(本题满分7分.)

【解析】方法一：判定方程等价于判定函数与的交点个数.

令               ,

其中是定积分,为常数,且被积函数在非负,故

,为简化计算,令,即,

则其导数,令解得唯一驻点,

即                  ,

所以是最大点,最大值为.

又因为,由连续函数的介值定理知在与各有且仅有一个零点(不相同),故方程在有且仅有两个不同实根.

方法二：             ,

因为当时,,所以

,

其它同方法一.

七、(本题满分6分.)

【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换.

第一行分别乘以有、加到第二行和第三行上,再第二行乘以加到第三行上, 有

.

由于方程组有解的充要条件是,故仅当,即时,方程组有解.此时秩,符合定理的第二种情况,故方程组有无穷多解. 

由同解方程组 令解得原方程组的通解

     (其中为任意常数).

【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：

设是矩阵,线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即是(或者说,可由的列向量线表出,亦等同于与是等价向量组)

设是矩阵,线性方程组,则

（1）   有唯一解        

（2）   有无穷多解      

（3）   无解            

  不能由的列向量线表出.

八、(本题满分8分.)

【解析】(1)由为的特征值可知,存在非零向量使,两端左乘,得

.因为,故,于是有.按特征值定义知是的特征

值.

(2)由于逆矩阵的定义,据第(1)问有 ,按特征值定义,即 为伴随矩阵的特征值.

【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设是阶矩阵,若存在数及非零的维列向量使得成立,则称是矩阵的特征值,称非零向量是矩阵的特征向量.

九、(本题满分9分.)

【解析】由球的对称性,不妨设球面的球心是,

于是的方程是.

先求与球面的交线：

.

代入上式得的方程   .

它在平面上的投影曲线

相应的在平面上围成区域设为,则球面在定球面内部的那部分面积

.

将的方程两边分别对求偏导得

,

所以   

             .

利用极坐标变换有

代入,化简得.

这是一个关于的函数,求在的最大值点,两边对求导,并令

,得,得.

且      ,

故时取极大值,也是最大值.

因此,当时球面在定球面内部的那部分面积最大.

十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)

(1)【解析】

方法一：.

方法二：.

(2)【解析】设事件=“甲射中”,=“乙射中”,依题意,,,

与相互独立,.

因此,有  .

        .

(3)【解析】设事件=“方程有实根”,而方程有实根的充要条件是其判别式,即.

随机变量在(1,6)上服从均匀分布,所以其分布函数为

由分布函数的定义,

    而

所以由概率的可加性,有.

【相关知识点】广义加法公式：.

条件概率：,所以.

十一、(本题满分6分.)

【解析】,,由独立的正态变量与的线性组合仍服从正态分布,且

,

得   .

代入正态分布的概率密度公式,有的概率密度函数为  .

【相关知识点】对于随机变量与均服从正态分布,则与的线性组合亦服从正态分布.

若与相互独立,由数学期望和方差的性质,有

,

,

其中为常数.