令,则时,所以

,

所以        .

因为当时,,所以

            ,

故          .

(2)【解析】先求方向的方向余弦,再求,最后按方向导数的计算公式

求出方向导数.

曲面在点处的法向量为

,

在点处指向外侧,取正号,并单位化得

又        ,

所以方向导数

.

(3)【解析】由曲线绕轴旋转一周而围成的旋转面方程是.

于是,是由旋转抛物面与平面所围成.曲面与平面的交线是

.

选用柱坐标变换,令,于是

,

因此   

         .

四、(本题满分6分)

【解析】曲线,则,所以

          .

对关于的函数两边对求导数,其中,并令得

.

所以,  且  .

故为函数的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为

.

五、(本题满分8分.)

【解析】按傅式级数公式,先求的傅式系数与.因为偶函数,所以

           ,

              ,

.

因为在区间上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以

                     .

令,有,所以,.

又       ,

所以,  ,即  .

六、(本题满分7分.)

【解析】由定积分中值定理可知,对于,在区间上存在一点使得

,

即.

由罗尔定理可知,在区间内存在一点,使得.

七、(本题满分8分)

【解析】设,按分量写出,则有

.

对方程组的增广矩阵作初等行变换:

第一行分别乘以有、加到第三行和第四行上,再第二行乘以、加到第三行和第四行上,有

,

所以,当时,,方程组无解.即是不存在使得

成立,不能表示成的线性组合；

当时,方程组有唯一解,

故有唯一表达式,且.

【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：

设是矩阵,线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即是(或者说,可由的列向量线表出,亦等同于与是等价向量组).

设是矩阵,线性方程组,则

(1) 有唯一解        

(2) 有无穷多解      

(3) 无解            

  不能由的列向量线表出.

八、(本题满分6分)

【解析】方法1：因为为阶正定阵,故存在正交矩阵,使

,

其中,是的特征值.

因此

两端取行列式得 ,

从而  .

方法2：设的个特征值是由于为阶正定阵,故特征值全大于0.

由为的特征值可知,存在非零向量使,两端同时加上,

得.按特征值定义知是的特征值.因为的特征值是它们全大于1,根据,知.

【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：设是阶矩阵,若存在数及非零的维列向量使得成立,则称是矩阵的特征值,称非零向量是矩阵的特征向量.

九、(本题满分8分)

【解析】曲线在点处的法线方程为

  (当时),

它与轴的交点是,从而

.

当时,有,上式仍然成立.

因此,根据题意得微分方程

,

即.这是可降阶的高阶微分方程,且当时,.

令,则,二阶方程降为一阶方程,即.

即,为常数.

因为当时,,所以,即,

所以.分离变量得 .

令,并积分,则上式左端变为

                 .

因曲线在上半平面,所以,即.

故     .

当时, 

当前取+时,,,

  ；

当前取时,,,

；

所以    .

十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)

(1)【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数和,否则应先根据题设条件求出,,再计算有关事件的概率,本题可从

,通过查表求出,但是注意到所求概率即是与之间的关系,可以直接由的值计算出.

因为,所以可标准化得  ,

由标准正态分布函数概率的计算公式,有

,

.

由正态分布函数的对称性可得到  .

(2)【解析】设事件=“掷的点和原点的连线与轴的夹角小于”,

这是一个几何型概率的计算问题.由几何概率公式

,而 ,

,

故   .

十一、(本题满分6分)

【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有

.

当时,.

因为在直线的下方

与(即第一象限)没有公共区域,

所以.

当时,在直线

的上方与第一象限相交成一个三角形区域,此即为积分区间.

.

所以的分布函数