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特征值不同,故与不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以与合同.
(5)【分析】 解本题的关键是明确和的关系:,即,在此基础上利用性质:相关系数的绝对值等于1的充要条件是随机变量与之间存在线性关系,即(其中是常数),且当时,;当时,,由此便知,应选(A).
事实上,,,由此由相关系数的定义式有 .
三、【解】 原式=
=
=.
四、【解】 先求.
求 ,归结为求.由复合函数求导法
,
.
注意 ,.
因此 ,.
五、【分析与求解】 关键是将展成幂级数,然后约去因子,再乘上并化简即可.
直接将展开办不到,但易展开,即
, ①
积分得 ,. ②
因为右端积分在时均收敛,又在连续,所以展开式在收敛区间端点成立.
现将②式两边同乘以得
=
=
, ,
上式右端当时取值为1,于是
.
上式中令.
六、【解】 用斯托克斯公式来计算.记为平面上所
为围部分.由的定向,按右手法则取上侧,的单位法向量
.
于是由斯托克斯公式得
=
=.
于是 .
按第一类曲面积分化为二重积分得
,
其中围在平面上的投影区域(图).由关于轴的对称性及被积函数的奇偶性得
.
七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,,,使
(与有关);又由连续而,在不变号,在严格单调,唯一.
(2)对使用的定义.由题(1)中的式子先解出,则有
.
再改写成 .
,
解出,令取极限得
.
八、【解】 (1)设时刻雪堆的体积为,侧面积为.时刻雪堆形状如图所示
先求与.
侧面方程是.
.
.
作极坐标变换:,则
.
用先二后一的积分顺序求三重积分 ,
其中,即.
.
(2)按题意列出微分方程与初始条件.
体积减少的速度是,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即
将与的表达式代入得 ,即
. ①
. ②
(3)解①得. 由②得,即.
令,得.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时.
九、【解】 由于是线性组合,又是的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知均为的解.
从是的基础解系,知.
下面来分析线性无关的条件.设,即
.
由于 线性无关,因此有
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