2001考研数学一试题及答案解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

(1)设(为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.

(2)设,则div(gradr)=_____________.

(3)交换二次积分的积分次序:＝_____________.

(4)设矩阵满足,其中为单位矩阵,则=_____________.

(5)设随机变量的方差是,则根据切比雪夫不等式有估计

_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)

(1)设函数在定义域内可导,的图形如右图所示,                                      

则的图形为

(2)设在点附近有定义,且,则

(A)  .

(B)  曲面在处的法向量为{3,1,1}.

(C)  曲线在处的切向量为{1,0,3}.

(D)  曲线在处的切向量为{3,0,1}.

(3)设,则在=0处可导的充要条件为

(A)  存在.                (B)  存在.

(C)  存在.                (D)  存在.

(4)设则与

(A)  合同且相似.                                           (B)  合同但不相似.

(C)  不合同但相似.                                      (D)  不合同且不相似.

(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X和Y的相关系数等于

(A)-1.                         (B)  0.                        (C)  .                     (D)  1.

三、(本题满分6分)

求.

四、(本题满分6分)

设函数在点处可微,且,,,

.求.

五、(本题满分8分)

设=将展开成的幂级数,并求级数的和.

六、(本题满分7分)

计算,其中是平面与柱面的交线,从轴正向看去,为逆时针方向.

七、(本题满分7分)

设在内具有二阶连续导数且,试证:

(1)对于内的任一,存在惟一的,使=+成立;

(2).

八、(本题满分8分)

设有一高度为(为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?

九、(本题满分6分)

设为线性方程组的一个基础解系,,,

,其中为实常数.试问满足什么条件时,也为的一个基础解系.

十、(本题满分8分)

已知3阶矩阵与三维向量,使得向量组线性无关,且满足.

(1)记=（）,求3阶矩阵,使;

(2)计算行列式.

十一、(本题满分7分)

设某班车起点站上客人数服从参数为()的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(),且中途下车与否相互独立.以表示在中途下车的人数,求:

(1)在发车时有个乘客的条件下,中途有人下车的概率;

(2)二维随机变量的概率分布.

十二、(本题满分7分)

设总体服从正态分布(),从该总体中抽取简单随机样本,,(),其样本均值为,求统计量的数学期望.

2001年考研数学一试题答案与解析

一、填空题

(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是,从而得知特征方程为

.

由此,所求微分方程为.

(2)【分析】 先求gradr.

gradr=.

再求            divgradr=

                        =.

于是            divgradr|=.

(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为时

.由此看出二次积分是二重积分的一个累次

积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为

.

由累次积分的内外层积分限可确定积分区域:

        .

见图.现可交换积分次序

原式=.

(4)【分析】 矩阵的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.

    因为        ,

故              ,即     .

按定义知         .

(5)【分析】 根据切比雪夫不等式

                ,

于是            .

二、选择题

(1)【分析】 当时,单调增,(A),(C)不对;

当时,:增——减——增:正——负——正,(B)不对,(D)对.

应选(D).

(2)【分析】 我们逐一分析.

关于(A),涉及可微与可偏导的关系.由在(0,0)存在两个偏导数在(0,0)处可微.因此(A)不一定成立.

    关于(B)只能假设在(0,0)存在偏导数,不保证曲面在

存在切平面.若存在时,法向量n={3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B)不成立.

         关于(C),该曲线的参数方程为 它在点处的切向量为

                                     .

因此,(C)成立.

(3)【分析】 当时,.

关于(A):,

由此可知           .

若在可导(A)成立,反之若(A)成立   .如满足(A),但不.

         关于(D):若在可导,

                .

(D)成立.反之(D)成立在连续,在可导.如    满足(D),但在处不连续,因而也不.

    再看(C):

    (当它们都时).

注意,易求得.因而,若(C)成立.反之若(C)成立(即

).因为只要有界,任有(C)成立,如满足(C),但不.

    因此,只能选(B).

(4)【分析】 由  ,知矩阵的特征值是4,0,0,0.又因是实对称矩阵,必能相似对角化,所以与对角矩阵相似.

    作为实对称矩阵,当时,知与有相同的特征值,从而二次型与有相同的正负惯性指数,因此与合同.

所以本题应当选(A).

注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如

            与,

它们的