于是要用分块积分法,用将分成两块:

(关于对称)

(选择积分顺序)

六、【分析与求解】 (1)易知原函数,

在上原函数,即.

积分在与路径无关.

(2)因找到了原函数,立即可得

七、【证明】   与书上解答略有不同,参见数三2002第七题(1)因为幂级数

的收敛域是,因而可在上逐项求导数,得

,

,

所以          .

(2)与相应的齐次微分方程为,

其特征方程为,特征根为.

因此齐次微分方程的通解为.

设非齐次微分方程的特解为,将代入方程可得

,即有.

于是,方程通解为.

当时,有

于是幂级数的和函数为

八、【分析与求解】 (1)由梯度向量的重要性质:函数在点处沿该点的梯度方向

方向导数取最大值即的模,

(2)按题意,即求求在条件下的最大值点

在条件下的最大值点.

    这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数

则有         

    解此方程组:将①式与②式相加得或

    若,则由③式得即若由①或②均得,代入③式得即于是得可能的条件极值点

    现比较在这些点的函数值:

    因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在中取到.因此在取到在的边界上的最大值,即可作为攀登的起点.

九、【解】  由线性无关及知,向量组的秩,即矩阵的秩为因此的基础解系中只包含一个向量.那么由

知,的基础解系是

    再由知,是的一个特解.故的通解是其中为任意常数.

十、【解】  (1)若相似,那么存在可逆矩阵,使故

(2)令那么

但不相似.否则,存在可逆矩阵,使.从而,矛盾,亦可从而知与不相似.

(3)由均为实对称矩阵知,均相似于对角阵,若的特征多项式相等,记特征多项式的根为则有

相似于也相似于

即存在可逆矩阵,使

于是由为可逆矩阵知,与相似.

十一、【解】   由于依题意,服从二项分布,则有

十二、【解】  

的矩估计量为根据给定的样本观察值计算

因此的矩估计值

对于给定的样本值似然函数为

令,得方程,解得(不合题意).

于是的最大似然估计值为