.                              .

       .                    .

解：选

分析；

（8）设随机变量，且相关系数，则（   ）

 .               .

.                .

解：选

分析：用排除法

设，由，知道正相关，得，排除、

由，得

排除

   故选择

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）微分方程满足条件的解是.

解：

分析；由所以，又，所以.

（10）曲线在点处的切线方程为.

解：.

分析：设，斜率，在处，，所以切线方程为，即

（11）已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为.

解：.

分析：由题意知的收敛域为，则的收敛域为.

所以的收敛域为.

（12）设曲面是的上侧，则.

解：

分析；

（13）设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，则的非零特征值为.

解：1

分析：

记可逆，故

与有相同的特征值，，故非零的特征值为1。

（14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则.

解：

分析；因为 ，所以 ，服从参数为1的泊松分布，

所以

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)（本题满分10分）

求极限

解：

(16)（本题满分10分）

 计算曲线积分，其中是曲线上从点到点的一段.

解：

(17)（本题满分10分）

已知曲线，求曲线距离面最远的点和最近的点.

解：

得：

得：

.

(18)（本题满分10分）

函数在连续，，证明在可导，且

.

证 ：设获得增量，其绝对值足够小，使得，则（如图，图中）在处的函数值为：  

由此得函数的增量

再应用积分中值定理，即有等式

这里，在与之间，把上式两端各除以，得函数增量与自变量的比值

  由于假设连续，而时，，因此。于是，令对上式两端取极限，左端的极限也应该等于，故的导函数存在，并且

(19)（本题满分10分）

，用余弦级数展开，并求的和

解：由为偶函数，则

对

所以

取 ，得  

所以  

(20)（本题满分11分）

，是三维列向量，为的转置，为的转置

（1）证；（2）若线性相关，则.

解：①为三维列向量，则，

②线性相关，不妨设，

（21）（本题满分11分）

设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，

（1）求证

（2）为何值，方程组有唯一解，求

（3）为何值，方程组有无穷多解，求通解

解：①

②方程组有唯一解

由，知，又，故。

记，由克莱姆法则知，

③方程组有无穷多解

由，有，则，故

的同解方程组为，则基础解系为，为任意常数。

又

，故可取特解为

所以的通解为为任意常数。

（22）（本题满分11分）

设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记

（1）求

（2）求的概率密度．

解：（1）

（2）当时，

当时，

当时，

当时，

当时，

当时，

所以          ，则

（23）（本题满分11分）

设是总体为的简单随机样本.记，

，

    （1）证 是的无偏估计量.

（2）当时 ，求.

解：(1)

因为：, ,而

,所以  T是的无偏估计

(2) ,, 

因为     

令 

所以  

因为      且

,

所以