2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)设函数 则 的零点个数

(A)0                           (B)1                

(C)2                           (D)3

(2)函数 在点 处的梯度等于

(A)                         (B)-                

(C)                         (D)

(3)在下列微分方程中,以 ( 为任意常数)为通解的是

(A)                (B)

(C)                (D)

(4)设函数 在 内单调有界, 为数列,下列命题正确的是

(A)若 收敛,则 收敛              (B)若 单调,则 收敛

(C)若 收敛,则 收敛             (D)若 单调,则 收敛

(5)设 为 阶非零矩阵, 为 阶单位矩阵. 若 ,则

   (A) 不可逆, 不可逆           (B) 不可逆, 可逆

   (C) 可逆, 可逆               (D) 可逆, 不可逆

(7)设随机变量 独立同分布且 分布函数为 ,则 分布函数为

(A)                      (B)

(C)                   (D)

(8)设随机变量 , 且相关系数 ,则

(A)              (B)

(C)              (D)

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)

(9)微分方程 满足条件 的解是 .

(10)曲线 在点 处的切线方程为 .

(11)已知幂级数 在 处收敛,在 处发散,则幂级数 的收敛域为 .

(12)设曲面 是 的上侧,则 .

(13)设 为2阶矩阵, 为线性无关的2维列向量, ,则 的非零特征值为 .

(14)设随机变量 服从参数为1的泊松分布,则 .

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分10分)

求极限 .

(16)(本题满分10分)

   计算曲线积分 ,其中 是曲线 上从点 到点 的一段.

(17)(本题满分10分)

已知曲线 ,求曲线 距离 面最远的点和最近的点.

(18)(本题满分10分)

设 是连续函数,

(1)利用定义证明函数 可导,且 .

(2)当 是以2为周期的周期函数时,证明函数 也是以2为周期的周期函数.

(19)(本题满分10分)

,用余弦级数展开,并求 的和.

(20)(本题满分11分)

, 为 的转置, 为 的转置.证明:

(1) .    (2)若 线性相关,则 .

(21)(本题满分11分)

设矩阵 ,现矩阵 满足方程 ,其中 , ,

(1)求证 .

(2) 为何值,方程组有唯一解,求 .

(3) 为何值,方程组有无穷多解,求通解.

(22)(本题满分11分)

设随机变量 与 相互独立, 的概率分布为 , 的概率密度为 ,记 ,

(1)求 .

(2)求 的概率密度.

(23)(本题满分11分)

设 是总体为 的简单随机样本.

记 , ,

    (1)证明 是 的无偏估计量.

(2)当 时 ,求 .