又由于，对上（*）式两边取时的极限可得：

故存在，且。

    法二：利用洛必达法则：

由题设，故存在，且。

（19）（本题满分10分）

计算曲面积分其中是曲面的外侧。

【分析】考查封闭曲面上第二类曲面积分的计算。首先在所围立体内做有向闭曲面挖去“瑕点” ，然后分别利用高斯公式计算。

【详解】，其中

因为                           ①

                         ②

                          ③

所以①+②+③=

由于被积函数及其偏导数在点（0，0，0）处不连续，不能直接使用高斯公式。

令  （其中为很小的正数，使得在所围立体内），取内侧。有

评注：在计算线积分或面积分时，可以将积分曲面或积分曲线的方程带入被积函数化简。

（20）（本题满分11分）

设

（I）求满足的所有向量；

（II）对（I）中的任一向量，证明：线性无关。

【分析】本题考查矩阵的运算、非齐次线性方程组求解、解的结构，线性无关的判定（三个三维向量线性无关的充要条件是行列式不为零），行列式的计算等。

【详解】（I）解方程，

。

故，其中为任意常数。

解方程组，由于，而

故，其中为任意常数。

（II）法一：由于

。

故线性无关。

法二：由题设可知：。设存在常数，使得

                          -------------------------------①

用左乘①式两端得：，所以，即        ------------------------------②

用左乘②式两端得：，所以，即，所以，代入②得，最后由①得。从而线性无关。

（21）（本题满分11分）

设二次型

（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值；

（Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值。

【分析】本题考查二次型的矩阵、求矩阵的特征值、二次型的规范形、惯性定理等。题中二次型带有参数，所以其特征值也会含有，在计算其特征多项式时要仔细。第（Ⅱ）问的关键是对规范形的理解。二次型的规范形所提供的信息是其秩及正惯性指数分别是多少，正是由此知道该二次型有两个特征值为正，一个为零，从而可以确定的值。

【详解】（I）。

。

所以二次型的矩阵A的特征值为、、。

（II）法一：若二次型的规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0。则

若，则  ， ，不符题意；

若 ，即，则，，符合题意；

若 ，即，则 ，，不符题意。

综上所述，故

    法二：由的规范形为知，其矩阵的特征值有两个为正数，一个为零。又，所以，即。

（22）（本题满分 11 分）

袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求二维随机变量的概率分布。

【分析】本题属于古典概型的题目，只要用排列组合的技巧就可以解决。（Ⅰ）的计算也可利用条件概率公式，关键是计算和。

【详解】（I）法一：在没有取白球的情况下取了一次红球，利用样本空间的缩减法，相当于只有 1个红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸一个红球的概率，所以 

     。

法二：；

（II）取值范围为0，1，2，故

，

，

，

，

（23）（本题满分 11 分）

设总体的概率密度为，其中参数未知，，,…是来自总体的简单随机样本

     (Ⅰ)求参数的矩估计量；

（Ⅱ）求参数的最大似然估计量

【分析】 本题考查矩估计和最大似然估计，利用固定的解法步骤完成即可。

【详解】（I）由，令，可得总体参数的矩估计量。

（II）构造似然函数

取对数

令，故其最大似然估计量为。