2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)当时,与等价无穷小,则

(A)                 (B)  

(C)                  (D)

   (3)设函数在区间上的图形为

则函数的图形为

(A)        (B) 

(C)     (D)

(4)设有两个数列,若,则

(A)当收敛时,收敛.         (B)当发散时,发散. 

     (C)当收敛时,收敛.        (D)当发散时,发散.

(5)设是3维向量空间的一组基,则由基到基的过渡矩阵为

(A)                  (B)       

(C)                 (D)

(6)设均为2阶矩阵,分别为的伴随矩阵,若,则分块矩阵的伴随矩阵为

(A)                    (B)       

(C)                    (D)

(7)设随机变量的分布函数为,其中为标准正态分布函数,则

(A)0                           (B)0.3           

(C)0.7                         (D)1

(8)设随机变量与相互独立,且服从标准正态分布,的概率分布为,记为随机变量的分布函数,则函数的间断点个数为

(A)0                           (B)1             

(C)2                           (D)3

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)

(9)设函数具有二阶连续偏导数,,则          .

(10)若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为,则非齐次方程满足条件的解为          .

(11)已知曲线,则             .

(12)设,则             .

(13)若3维列向量满足,其中为的转置,则矩阵的非零特征值为             .

(14)设为来自二项分布总体的简单随机样本,和分别为样本均值和样本方差.若为的无偏估计量,则             .

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分9分)

求二元函数的极值.

(16)(本题满分9分)

设为曲线与所围成区域的面积,记,求与的值.

(17)(本题满分11分)

椭球面是椭圆绕轴旋转而成,圆锥面是过点且与椭圆相切的直线绕轴旋转而成.

(1)求及的方程.   (2)求与之间的立体体积.

(18)(本题满分11分)

(1)证明拉格朗日中值定理:若函数在上连续,在可导,则存在,使得.

(2)证明:若函数在处连续,在内可导,且,则存在,且

(19)(本题满分10分)

计算曲面积分,其中是曲面的外侧.

(20)(本题满分11分)

设,

(1)求满足的.的所有向量,. (2)对(1)中的任意向量,证明无关.

(21)(本题满分11分)

设二次型.

(1)求二次型的矩阵的所有特征值;   (2)若二次型的规范形为,求的值.

(22)(本题满分11分)

袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.

(1)    求.   (2)求二维随机变量概率分布

(23)(本题满分11 分)

设总体的概率密度为,其中参数未知,,,…是来自总体的简单随机样本.

(1)求参数的矩估计量.

(2)求参数的最大似然估计量.

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析