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2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）曲线
渐近线的条数为（）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
（2）设函数
，其中
为正整数，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）如果
在
处连续，那么下列命题正确的是（ ）
（A）若极限
存在，则在
处可微
（B）若极限
存在，则在处可微
（C）若在处可微，则极限存在
（D）若在处可微，则极限存在
（4）设
sinxdx(k=1,2,3),则有D
（A）I1< I2 <I3. (B) I2< I2< I3. (C) I1< I3 <I1, (D) I1< I2< I3.
（5）设
其中
为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）设
为3阶矩阵，
为3阶可逆矩阵，且
，
，
则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）设随机变量x与y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则
（）
（8）将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）若函数
满足方程
及
，则=________。
（10）
________。
（11）
________。
（12）设
则
________。
（13）设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵
的秩为________。
（14）设
是随机事件，
互不相容，
,
,则
________。
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
证明：
（16）（本题满分10分）
求
的极值。
（17）（本题满分10分）
求幂级数
x2n 的收敛域及和函数
（18）（本题满分10分）
已知曲线
，其中函数
具有连续导数，且
，
。若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数的表达式，并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积。
（19）（本题满分10分）
已知
是第一象限中从点沿圆周
到点
，再沿圆周
到点
的曲线段，计算曲线积分
。
（20）（本题满分10分）
设
，
（Ⅰ）求
（Ⅱ）已知线性方程组
有无穷多解，求
，并求的通解。
（21）（本题满分10分）三阶矩阵
，
为矩阵的转置，已知
，且二次型
。
1）求 2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。
（22）（本题满分10分）
已知随机变量
以及
的分布律如下表所示，
|
|
|
|
XY |
0 |
1 |
2 |
4 |
|
P |
7/12 |
1/3 |
0 |
1/12 |
|
求：(1)
； (2)
与
.
（23）（本题满分11分）
设随机变量
与
相互独立且分别服从正态分布
与
，其中
是未知参数且
,设
,
(1) 求
的概率密度
；
(2) 设
为来自总体
的简单随机样本，求
的最大似然估计量
；
(3) 证明为的无偏估计量。
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题:1
8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1) 曲线
渐近线的条数为 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
【答案】C
【考点】函数图形的渐近线
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i）当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
（ii）渐近线分为水平渐近线（
，
为常数）、垂直渐近线（
）和斜渐近线（
，
为常数）。
（iii）注意：如果
（1）
不存在；
（2）
，但
不存在，可断定
不存在斜渐近线。
在本题中，函数
的间断点只有
.
由于
，故
是垂直渐近线.
（而
，故
不是渐近线）.
又
，故
是水平渐近线.（无斜渐近线）
综上可知，渐近线的条数是2.故选C.
(2) 设函数
,其中
为正整数,则
( )
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
【答案】A
【考点】导数的概念
【难易度】★★
【详解一】本题涉及到的主要知识点：
.
在本题中，按定义
.故选A.
【详解二】本题涉及到的主要知识点：
.
在本题中，用乘积求导公式.含因子
项在
为0，故只留下一项.于是
故选（A）.
(3) 如果函数
在
处连续,那么下列命题正确的是 ( )
(A) 若极限
存在,则在处可微
(B) 若极限
存在,则在处可微
(C) 若在处可微,则极限存在
(D) 若在处可微,则极限存在
【答案】B
【考点】全微分存在的必要条件和充分条件
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
全微分存在的充分条件 如果函数
的偏导数
、
在点
连续，则函数在该点可微分.
在本题中，若
，则
又在连续
.于是
由极限与无穷小的关系
，
其中
为无穷小.
，
其中
.因此在可微.故选（B）.
（A）不正确，如
满足条件，但在不存在偏导数，故不可微.（C）不正确，如
在可微，但
不存在.（D）也不正确，如在可微，但
不存在.
(4)设
，则有 ( )
(A)
(B) 
(C) 
(D)
【答案】D
【考点】定积分的基本性质
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
设
，则
.
在本题中，
，
，
，
，
因此
.故选D.
(5)设
,
,
,
,其中
为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )
(A)
(B) 
(C)
(D)
【答案】C
【考点】向量组的线性相关与线性无关
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
个维向量相关
在本题中，显然
，
所以必线性相关.故选C.
(6) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且
.若P=（），
，则
( )
(A) 
(B) 
(C) 
(D)
【答案】B
【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
设
是一个
矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的
阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.
在本题中，由于
经列变换为
，有
，
那么
故选B.
(7)设随机变量
与
相互独立，且分别服从参数为
与参数为
的指数分布，则
( )
(A) 
(
考研
