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2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)曲线渐近线的条数为()
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
(2)设函数,其中为正整数,则
(A) (B) (C) (D)
(3)如果在处连续,那么下列命题正确的是( )
(A)若极限存在,则在处可微
(B)若极限存在,则在处可微
(C)若在处可微,则极限存在
(D)若在处可微,则极限存在
(4)设 sinxdx(k=1,2,3),则有D
(A)I1< I2 <I3. (B) I2< I2< I3. (C) I1< I3 <I1, (D) I1< I2< I3.
(5)设其中为任意常数,则下列向量组线性相关的是( )
(A) (B) (C) (D)
(6)设为3阶矩阵,为3阶可逆矩阵,且,,则( )
(A) (B) (C) (D)
(7)设随机变量x与y相互独立,且分别服从参数为1与参数为4的指数分布,则()
(8)将长度为1m的木棒随机地截成两段,则两段长度的相关系数为()
二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)若函数满足方程及,则=________。
(10) ________。
(11) ________。
(12)设则________。
(13)设X为三维单位向量,E为三阶单位矩阵,则矩阵的秩为________。
(14)设是随机事件,互不相容,,,则________。
三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
证明:
(16)(本题满分10分)
求的极值。
(17)(本题满分10分)
求幂级数x2n 的收敛域及和函数
(18)(本题满分10分)
已知曲线
,其中函数具有连续导数,且,。若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1,求函数的表达式,并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积。
(19)(本题满分10分)
已知是第一象限中从点沿圆周到点,再沿圆周到点的曲线段,计算曲线积分。
(20)(本题满分10分)
设,
(Ⅰ)求
(Ⅱ)已知线性方程组有无穷多解,求,并求的通解。
(21)(本题满分10分)三阶矩阵,为矩阵的转置,已知,且二次型。
1)求 2)求二次型对应的二次型矩阵,并将二次型化为标准型,写出正交变换过程。
(22)(本题满分10分)
已知随机变量以及的分布律如下表所示,
|
|
XY |
0 |
1 |
2 |
4 |
P |
7/12 |
1/3 |
0 |
1/12 |
|
求:(1); (2)与.
(23)(本题满分11分)
设随机变量与相互独立且分别服从正态分布与,其中是未知参数且,设,
(1) 求的概率密度;
(2) 设为来自总体的简单随机样本,求的最大似然估计量;
(3) 证明为的无偏估计量。
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1) 曲线渐近线的条数为 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
【答案】C
【考点】函数图形的渐近线
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
(i)当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时,如果M到一条直线的距离无限趋近于零,那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
(ii)渐近线分为水平渐近线(,为常数)、垂直渐近线()和斜渐近线(,为常数)。
(iii)注意:如果
(1)不存在;
(2),但不存在,可断定不存在斜渐近线。
在本题中,函数的间断点只有.
由于,故是垂直渐近线.
(而,故不是渐近线).
又,故是水平渐近线.(无斜渐近线)
综上可知,渐近线的条数是2.故选C.
(2) 设函数,其中为正整数,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【考点】导数的概念
【难易度】★★
【详解一】本题涉及到的主要知识点:
.
在本题中,按定义
.故选A.
【详解二】本题涉及到的主要知识点:
.
在本题中,用乘积求导公式.含因子项在为0,故只留下一项.于是
故选(A).
(3) 如果函数在处连续,那么下列命题正确的是 ( )
(A) 若极限存在,则在处可微
(B) 若极限存在,则在处可微
(C) 若在处可微,则极限存在
(D) 若在处可微,则极限存在
【答案】B
【考点】全微分存在的必要条件和充分条件
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
全微分存在的充分条件 如果函数的偏导数、在点连续,则函数在该点可微分.
在本题中,若,则
又在连续.于是
由极限与无穷小的关系,
其中为无穷小.
,
其中.因此在可微.故选(B).
(A)不正确,如满足条件,但在不存在偏导数,故不可微.(C)不正确,如在可微,但不存在.(D)也不正确,如在可微,但不存在.
(4)设,则有 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【考点】定积分的基本性质
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
设,则.
在本题中,
,,
,
,
因此.故选D.
(5)设, , , ,其中为任意常数,则下列向量组线性相关的为( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【考点】向量组的线性相关与线性无关
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
个维向量相关
在本题中,显然
,
所以必线性相关.故选C.
(6) 设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,且.若P=(),,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【考点】矩阵的初等变换;初等矩阵
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
设是一个矩阵,对施行一次初等行变换,相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵;对施行一次初等列变换,相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.
在本题中,由于经列变换为,有
,
那么
故选B.
(7)设随机变量与相互独立,且分别服从参数为与参数为的指数分布,则( )
(A) (