2012年考研数学一真题及答案 全国硕士研究生入学统一考试(一)
2016-03-06 19:41:08 来源:91考试网 作者:www.91exam.org 【
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2012年全国硕士研究生入学统一考试

数学()试卷

一、选择题:18小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

1)曲线渐近线的条数为()

A0                B1                  C2                D3

2)设函数,其中为正整数,则

A    B        C          D

3)如果处连续,那么下列命题正确的是(   

A)若极限存在,则处可微

B)若极限存在,则处可微

C)若处可微,则极限存在

D)若处可微,则极限存在

4)设 sinxdx(k=1,2,3),则有D

AI1< I2 <I3.               (B) I2< I2< I3.            (C) I1< I3 <I1,      (D) I1< I2< I3.

5)设其中为任意常数,则下列向量组线性相关的是(   

A         B         C         D

6)设3阶矩阵,3阶可逆矩阵,且   

A       B       C      D

7)设随机变量xy相互独立,且分别服从参数为1与参数为4的指数分布,则()

8)将长度为1m的木棒随机地截成两段,则两段长度的相关系数为()

二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.

9)若函数满足方程,则=________

10 ________

11 ________

12)设________

13)设X为三维单位向量,E为三阶单位矩阵,则矩阵的秩为________

14)设是随机事件,互不相容,,,________

三、解答题:15—23小题,共94.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15)(本题满分10分)

证明:

16)(本题满分10分)

的极值。

17)(本题满分10分)

求幂级数x2n 的收敛域及和函数

18)(本题满分10分)

已知曲线

,其中函数具有连续导数,且。若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1,求函数的表达式,并求此曲线Lx轴与y轴无边界的区域的面积。

19)(本题满分10分)

已知是第一象限中从点沿圆周到点,再沿圆周到点的曲线段,计算曲线积分

20)(本题满分10分)

(Ⅰ)求

(Ⅱ)已知线性方程组有无穷多解,求,并求的通解。

21)(本题满分10分)三阶矩阵为矩阵的转置,已知,且二次型

1)求      2)求二次型对应的二次型矩阵,并将二次型化为标准型,写出正交变换过程。

22)(本题满分10分)

已知随机变量以及的分布律如下表所示,

X

0

1

2

P

1/2

1/3

1/6

 

Y

0

1

2

P

1/3

1/3

1/3

 

XY

0

1

2

4

P

7/12

1/3

0

1/12

 

求:(1)  (2).

23)(本题满分11分)

设随机变量相互独立且分别服从正态分布,其中是未知参数且,,

(1)    的概率密度

(2)    为来自总体的简单随机样本,求的最大似然估计量

(3)    证明的无偏估计量。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择:18小题,每小题4分,共32.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(1) 曲线渐近线的条数为                                              (   )

(A) 0              (B) 1            (C) 2              (D) 3

【答案】C

【考点】函数图形的渐近线

【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点:

i当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时,如果M到一条直线的距离无限趋近于零,那么这条直线称为这条曲线的渐近线。

ii)渐近线分为水平渐近线(为常数)、垂直渐近线()和斜渐近线(为常数)。

iii)注意:如果

1不存在;

2,但不存在,可断定不存在斜渐近线。

在本题中,函数的间断点只有.

由于,故是垂直渐近线.

(而,故不是渐近线).

,故是水平渐近线.(无斜渐近线)

综上可知,渐近线的条数是2.故选C.

 (2) 设函数,其中为正整数,           (   )

(A)        (B)        (C)          (D)

【答案】A

【考点】导数的概念

【难易度】★★

【详解一】本题涉及到的主要知识点:

.

在本题中,按定义

.故选A.

【详解二】本题涉及到的主要知识点:

.

在本题中,用乘积求导公式.含因子项在0,故只留下一项.于是

故选(A.

 

(3) 如果函数处连续,那么下列命题正确的是                         (   )

(A) 若极限存在,处可微 

(B) 若极限存在,处可微

(C) 处可微,则极限存在

(D) 处可微,则极限存在

【答案】B

【考点】全微分存在的必要条件和充分条件

【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点:

全微分存在的充分条件  如果函数的偏导数在点连续,则函数在该点可微分.

在本题中,若,则

连续.于是

由极限与无穷小的关系

其中为无穷小.

其中.因此可微.故选(B.

A)不正确,如满足条件,但不存在偏导数,故不可微.C)不正确,如可微,但不存在.D)也不正确,如可微,但不存在.

 (4),则有 (   )

(A)   (B)    (C)    (D)

【答案】D

【考点】定积分的基本性质

【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点:

,则.

在本题中,

因此.故选D.

(5), , , ,其中为任意常数,则下列向量组线性相关的为(   )

(A)   (B)   (C)   (D)

【答案】C

【考点】向量组的线性相关与线性无关

【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点:

维向量相关

在本题中,显然

所以必线性相关.故选C.

(6) A3阶矩阵,P3阶可逆矩阵,且.P=),,则 (   )

(A)      (B)      (C)      (D) 

【答案】B

【考点】矩阵的初等变换;初等矩阵

【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点:

是一个矩阵,对施行一次初等行变换,相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵;对施行一次初等列变换,相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.

在本题中,由于经列变换为,有

那么

故选B.

 

(7)设随机变量相互独立,且分别服从参数为与参数为的指数分布,则(   )

(A)            (

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