（二十）计数原理

（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题。

（2）理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题。

（3）理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题。

（4）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

例1．[2014·北京卷] 把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．　

例2．[2014·广东卷] 设集合A＝{(x₁，x₂，x₃，x₄，x₅)|x_i∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x₁|＋|x₂|＋|x₃|＋|x₄|＋|x₅|≤3”的元素个数为(　　)   　

A．60  B．90  C．120  D．130

例3．[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　)  　

A．60种  B．70种  C．75种  D．150种

例4．[2014·辽宁卷] 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)  　

A．144  B．120  C．72  D．24

例5．[2014·湖北卷] 若二项式的展开式中的系数是84，则实数a＝(　　) 　

A．2  B.  C．1  D.

例6．[2014·湖南卷] 的展开式中x²y³的系数是(　　)   

A．－20  B．－5    C．5  D．20

例7．[2014·四川卷] 在x(1＋x)⁶的展开式中，含x³项的系数为(　　) 　

A．30  B．20  C．15  D．10

例8．[2014·浙江卷] 在(1＋x)⁶(1＋y)⁴的展开式中，记x^myⁿ项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(　　) 　

A．45  B．60  C．120  D．210

（二十一） 概率与统计

（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值得离散型随机变量的分布列。

（2）了解超几何分布，并能进行简单的应用。

（3）了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念；理解此独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单问题。

（4）理解取有限个值得离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念来解决一些简单问题。

（5）了解回归分析的思想、方法及其简单应用。

（6）了解独立性检验的思想、方法及其初步应用。

例1．[2014·重庆卷] 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．

(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；

(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．

(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数)

例2．[2014·辽宁卷] 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图1­4所示．

图1­4

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．

(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；

(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．

例3．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.

（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.

例4．在一次数学测试中，有A、B两份相同的试卷，卷面上有六道不同的问答题，已知甲能答对A卷中的3道题，乙能答对B卷中每一道题的概率均为0.5．现要求甲在A卷中随机地选3题作答，乙在B卷中随机地选3题作答．设甲、乙答对的题目个数分别为X和Y．

（Ⅰ）分别写出X和Y的分布列；

（Ⅱ）甲、乙两人谁发挥得更好，并说明理由．

二、选考内容和要求

（一） 几何证明选讲

（1）理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理。

（2）会证明以下定理：直角三角形射影定理；圆周角定理；圆的切线判定定理与性质定理；相交弦定理；圆内接四边形的性质定理与判定定理；切割线定理；并能应用以上定理解决问题。

例1．[2014·江苏卷] A．[选修4­1：几何证明选讲]

如图1­7所示，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点．

证明：∠OCB＝∠D.

图1­7

例2.选修4-1：几何证明选讲

如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点， BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.

(Ⅰ )求证：PM²＝PA·PC；                        

（Ⅱ ）若⊙O的半径为2，OA＝OM，求MN的长．

例3．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－1：几何证明选讲

如图1­5，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.

图1­5

(1)证明：∠D＝∠E；

(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．

（二） 坐标系与参数方程

（1）了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

（2）了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。

（3）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程。

（4）了解参数方程，了解参数的意义。

（5）能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。

例1.(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为

（I）求点的直角坐标；

（II）设为上任意一点，求的取值范围。

例2．[2014·辽宁卷] 选修4­4：坐标系与参数方程

将圆x²＋y²＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.

(1)写出C的参数方程；

(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P₁，P₂，以

坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P₁P₂的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

（三）不等式选讲

（1） 理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：

（2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

(3)认识下列柯西不等式的几种不同形式：

理解它们的几何意义，并会证明。

（4） 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法。

例1.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知，不等式的解集为

（I）求的值

（II）若恒成立，求的取值范围

例2．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修4­5：不等式选讲

设函数f(x)＝＋|x－a|(a＞0)．

(1)证明：f(x)≥2；

(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．

例3．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－5：不等式选讲

若a＞0，b＞0，且＋＝.

(1)求a³＋b³的最小值；

(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？请说明理由．