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2015年普通高等学校招生全国统一考试陕西卷
数学考试说明
考试内容和要求(理)
一.必考内容和要求
(一)集合
1.集合的含义与表示
(1)了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系。
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题。
例1.(2013·山东高考)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A, y∈A}中元素的个数是( )
例2.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.
2.集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。
(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义。
例1、(2013·洛阳统考)已知集合A={x|≤0,x∈N},B={x|≤2,x∈Z},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
例2.已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1},且B⊆A.则实数m的取值范围为________.
3.集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集。
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集。
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算。
例1.[2014·北京卷] 若集合A={0,1,2,4},B={1,2,3},则A∩B=( )
A.{0,1,2,3,4} B.{0,4} C.{1,2} D.{3}
例2.[2014·湖北卷] 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},则∁UA=( )
A.{1,3,5,6} B.{2,3,7} C.{2,4,7} D.{2,5,7}
例3.[2014·福建卷] 若集合P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3},则P∩Q等于( )
A.{x|3≤x<4} B.{x|3<x<4} C.{x|2≤x<3} D.{x|2≤x≤3}
(二)函数概念与基本初等函数Ⅰ
1.函数
(1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。
(2)在实际情景中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列举法、解析法)表示函数。
(3)了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段)。
(4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;了解函数奇偶性的含义。
(5)会运用基本初等函数的图像分析函数的性质。
例1.[2014·安徽卷] 若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=则f+f=______.
例2.[2014·山东卷] 函数f(x)=的定义域为( )
A.(0,2) B.(0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞)
例3.[2014·北京卷] 下列函数中,定义域是R且为增函数的是( )
A.y=e-x B.y=x3 C.y=ln x D.y=|x|
2.指数函数
(1)了解指数函数模型的实际背景。
(2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。
(3)理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点,会画底数为2,3,10,,的指数函数的图像。
(4)体会指数函数是一类重要的函数模型。
例1.[2014·安徽卷] 设a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则( )
A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<c<b
例2.[2014·陕西卷] 下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是()
A.f(x)=x3 B.f(x)=3x C.f(x)= D.f(x)=
3.对数函数
(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用。
(2)理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点,会画底数为2,10,的对数函数的图像。
(3)体会对数函数是一类重要的函数模型。
(4)了解指数函数且与对数函数且互为反函数。
例1.[2014·安徽卷] +log3+log3=________.
例2.[2014·全国卷] 函数y=ln(+1)(x>-1)的反函数是( )
A.y=(1-ex)3(x>-1) B.y=(ex-1)3(x>-1)
C.y=(1-ex)3(x∈R) D.y=(ex-1)3(x∈R)
例3.函数y=ln的图像为( )
4.幂函数
(1)了解幂函数的概念。
(2)结合函数的图像,了解它们的变化情况。
例1.图中曲线是幂函数y=xα在第一象限的图像.已知n取±2,±四个值,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的α值依次为________.
5.函数与方程
结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,会判断一元二次方程根的存在性与根的个数。
例1.[2014·重庆卷] 已知函数f(x)=且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是( )
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
例2.[2014·湖北卷] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( )
A.{1,3} B.{-3,-1,1,3} C.{2-,1,3} D.{-2-,1,3}
6.函数模型及其应用
(1)了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛使用。
例1.[2014·陕西卷] 如图12所示,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )
图12
A.y=x3-x2-x B.y=x3+x2-3x
C.y=x3-x D.y=x3+x2-2x
例2.(2014·威海高三期末)对于函数f(x),如果存在锐角θ,使得f(x)的图像绕坐标原点逆时针旋转角θ,所得曲线仍是一函数,则称函数f(x)具备角θ的旋转性,下列函数具备角的旋转性的是( )
A.y= B.y=ln x C.y=x D.y=x2
解: 函数f(x)的图像绕坐标原点逆时针旋转角,相当于x轴、y轴绕坐标原点顺时针旋转角,问题转化为直线y=x+k与函数f(x)的图像不能有两个交点,结合图像可知y=x与直线y=x+k没有两个交点,
(三)立体几何初步
1.空间几何体
(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图。
(3)会用平行投影方法画出简单图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式。
(4)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。
例1.(2013·新课标Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的主视图时,以zOx平面为投影面,则得到的主视图可以为( )
例2.正四棱锥的底面边长为2,侧棱长均为,其主视图和左视图是全等的等腰三角形,则主视图的周长为________.
例3.[2014·北京卷] 某三棱锥的三视图如图13所示,则该三棱锥最长棱的棱长为________.
图13
2.点、直线、平面之间的位置关系
(1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理:
◆公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
◆公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
◆公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么他们有且只有一条过该点的公共直线。
◆公理4:平行于同一条直线的两条直线平行。
◆定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。
理解一下判定定理:
◆ 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
◆ 一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,则这两个平面平行。
◆ 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
◆ 一个平面过另一个平面的垂线,则两个平面垂直。
理解一下性质定理,并能够证明:
◆ 一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。
◆ 两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。
◆ 垂直于同一个平面的两条直线平行。
◆ 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
例1.[2014·辽宁卷] 已知m,n表示