2.  利用一阶全微分形式的不变性，对每个方程两边求全微分，此时各变量的地位是平等的，然后求解相应的线性方程组或者方程式，求的相应的隐函数的全微分。

对于多元隐函数来说，若题目中求的是全部偏导数或全微分，往往是用方法2比较简单些，若只求某个偏导数，则方法1和方法2的繁简程度差不多。

在本题中，

,

,

(3) 设是正整数，则反常积分的收敛性                     (   )

(A) 仅与的取值有关.              (B) 仅与的取值有关.

(C) 与的取值都有关.            (D) 与的取值都无关.

【答案】D

【考点】反常积分

【详解】本题涉及到的主要知识点：

反常积分敛散性判别法则：设f(x)在（a，b）非负，，在可积，又设（或）是的瑕点，且（或），则当且时瑕积分收敛。

在本题中，

,

对于，瑕点为

设 ，故收敛。

设存在，不是反常积分

设存在，，故收敛。

对于，，瑕点为，当为正整数时，，其中，故收敛

故选(D)。

(4)                                              (   )

(A) .                 (B) .

(C) .                  (D) .

【答案】D

【考点】定积分的概念

【详解】本题涉及到的主要知识点：

利用定积分的定义求某些n项和式的极限（先将和式表示成某函数在某区间上的一个积分和，它的极限就是一个定积分）。

特别是对于n项和数列的极限，应该注意到：

其中多几项或少几项并不影响结果。

在本题中，

(5) 设为型矩阵，为型矩阵，为阶单位矩阵，若，则 (   )

(A) 秩,秩.              (B) 秩,秩. 

(C) 秩,秩.               (D) 秩,秩.

【答案】A

【考点】矩阵的秩

【详解】本题涉及到的主要知识点：

矩阵的秩的定义，若一个矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相等，称此数为矩阵A的秩。记做r（A）。若r（A）=r，则A中有r阶子式不为0，而r+1阶子式必全为0.

矩阵秩的重要公式：

1）

2）

3）

4）

5）若A可逆，则

6）若，是矩阵，则

7）若则

在本题中，

由于，故.又由于，故

                                                     ①

由于为矩阵，为矩阵，故

                                ②

由①、②可得，故选A.

(6) 设为4阶实对称矩阵，且，若的秩为3，则相似于            (   )

(A)  .                           (B) .

(C)  .                         (D) .

【答案】D

【考点】矩阵的特征值和特征向量；相似对角矩阵

【详解】本题涉及到的主要知识点：

（i）与对角矩阵相似的充分条件：①有个不同的特征值；②是实对称矩阵

（ii）与对角矩阵相似的充要条件：对于矩阵的每一个重特征值，其线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数，即秩.

在本题中，

设为的特征值，由于，所以，即，这样的特征值为-1或0.由于为实对称矩阵，故可相似对角化，即，，因此，，即.

(7) 设随机变量的分布函数，则=      (   )

(A)  0.             (B) .                (C) .            (D) .

【答案】C

【考点】随机变量分布函数的概念及其性质

【详解】本题涉及到的主要知识点：

（i）设是一个随机变量，是任意实数，函数，

称为的分布函数.

（ii）设是随机变量的分布函数，则对任意两个实数，有.

在本题中，

(8) 设为标准正态分布的概率密度，为上均匀分布的概率密度，若

为概率密度，则应满足                                                  (   )

(A) .       (B).        (C).        (D).

【答案】A

【考点】常见随机变量的分布；二维连续型随机变量的概率密度

【详解】本题涉及到的主要知识点：

（i）标准正态分布概率密度，

（ii）均匀分布概率密度

（iii）概率密度具有的性质：

在本题中，

，

利用概率密度的性质

所以.

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

(9) 设，求.

【答案】0

【考点】参数方程所确定的函数的微分法

【详解】本题涉及到的主要知识点：

由参数方程确定函数的运算法则：

设确定函数存在，则

二阶导数

在本题中，

,

,

(10) .

【答案】

【考点】定积分的换元法和分部积分法

【详解】本题涉及到的主要知识点：

第一换元积分法

设，又可导，则

第二类换元积分法：

设可导，且，若，

则，其中为的反函数。

分部积分法：

设均有连续的导数，则

或者

在本题中，

令，，

原式

(11) 已知曲线的方程为,起点是，终点是，则曲线积分.

【答案】0

【考点】第二类曲线积分

【详解】本题涉及到的主要知识点：

曲线积分的基本计算方法是：代公式，化为定积分，特别要注意定积分限的配置，第二类线积分与曲线定向有关，第一类曲线积分与曲线定向无关。

在本题中，

(12) 设，则的形心的竖坐标.

【答案】

【考点】曲线积分和曲面积分的应用

【详解】本题涉及到的主要知识点：

多元函数积分学的应用包括几何应用（求平面图形与曲面的面积、求空间立体的体积与空间曲线的弧长）与物理应用（求变力做功，物体的重心，转动惯量，引力及流体的流量等）。

三重积分的应用主要有两种情形：

（1）截面面积已知的情形

，的面积为S(z),则的体积

（2）曲顶面底柱形区域的情形。

     ，

则的体积

在这种情形要确定上、下曲面及投影区域。

在本题中，

(13) 设,若由形成的向量空间

维数是2，则=.

【答案】

【考点】向量空间维数的概念

【详解】本题涉及到的主要知识点：

向量空间这部分的内容应当了解向量空间、子空间、维数等概念，然后利用向量组秩的有关定义求得未知数。

在本题中，

因为由形成的向量空间维数为2，所以.对进行初等行变换：

所以.

(14) 设随机变量的概率分布为,，则= .

【答案】2