2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)极限=

(A)1                          (B)

(C)                        (D) 

(2)设函数由方程确定,其中为可微函数,且则=

(A)                         (B)

(C)                         (D) 

   (3)设为正整数,则反常积分的收敛性

(A)仅与取值有关                 (B)仅与取值有关    

(C)与取值都有关               (D)与取值都无关

(4)=

(A)           (B) 

     (C)            (D)

(5)设为型矩阵为型矩阵,若则

(A)秩秩             (B)秩秩        

(C)秩秩              (D)秩秩

(6)设为4阶对称矩阵,且若的秩为3,则相似于

(A)                (B)       

(C)                 (D) 

(7)设随机变量的分布函数  则=

(A)0                           (B)1          

(C)                     (D)

(8)设为标准正态分布的概率密度为上均匀分布的概率密度,

为概率密度,则应满足

(A)                  (B)            

(C)                      (D)

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)

(9)设求=          .

(10)=          .

(11)已知曲线的方程为起点是终点是

则曲线积分=             .

(12)设则的形心的竖坐标=             .

(13)设若由形成的向量空间的维数是2,则=             .

(14)设随机变量概率分布为则=             .

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分10分)

求微分方程的通解.

(16)(本题满分10分)

求函数的单调区间与极值.

(17)(本题满分10分)

(1)比较与的大小,说明理由

(1)    记求极限

(18)(本题满分10分)

求幂级数的收敛域及和函数.

(19)(本题满分10分)

设为椭球面上的动点,若在点的切平面与面垂直,求点的轨迹并计算曲面积分其中是椭球面位于曲线上方的部分.

(20)(本题满分11分)

设已知线性方程组存在两个不同的解.

(1)求

(2)求方程组的通解.

(21)(本题满分11分)

设二次型在正交变换下的标准形为且的第三列为

(1)求

(2)证明为正定矩阵,其中为3阶单位矩阵.

(22)(本题满分11分)

设二维随机变量的概率密度为求常数及条件概率密度

(23)(本题满分11 分)

设总体的概率分布为

其中未知,以来表示来自总体的简单随机样本(样本容量为)中等于的个数试求常数使为的无偏估计量,并求的方差.